期望值

(91學年度南一中學測911226 RA413)
學測數學考試，多重選擇題每題5分，共有5個選項，每題至少有一個選項是正確的，答對給5分，只錯一個給2.5分，錯2個或2個以上不給分，答錯不倒扣，若任意猜答，則該題得分的期望值為幾分?
[解]
(1)恰有一個選項是正確的機率為5/31，則得5分的機率為 1/31，得2.5分的機率為 4/31
(2)有兩個以上選項是正確的機率為26/31，則得5分的機率為 1/31，得2.5分的機率為 5/31
所以該題得分的期望值為 (5/31)*[5*(1/31)+2.5*(4/31)]+(26/31)*[5*(1/31)+2.5*(5/31)]=530/961

撞球

(95學年度南區第1次學測RA238)
撞球桌為長方形ABCD，其中A、B、C、D皆有洞，今母球從A點出發，路線和AB邊夾45度，撞到邊界即反彈，當AB=4，BC=3，母球最後落入B洞，當AB=96，BC=94時母球依此規則撞擊，則母球在入洞前共撞擊BC邊幾次?

撞擊有幾種

塗色問題

問題：用k色來塗環狀n區域，每一區域一色，相鄰區域不許同色，顏色可以重複使用，顏色不一定全用，塗法有幾種?

塗法有幾種

算幾不等式

算幾不等式的証明

証明:

OE數列

一個m項的正整數數列＜x(1)，x(2)，x(3)，...，x(m) ＞，如果滿足以下兩個條件：
(1)對於任意的正整數 i，1 <= i <= m-1 ；x(i) < x(i+1)
(2)數列中所有的奇數項 x(1)，x(3)，...全是奇數，並且數列中所有的偶數項 x(2)，x(4)，...全是偶數
則稱此數列為一個OE數列。
例如最大的項不大於4的OE數列只有＜１＞，＜3＞，＜1,2＞，＜1,4＞，＜3,4＞，＜1,2,3＞，＜1,2,3,4＞等七個。請問最大的項不大於20的OE數列共有多少個?請說明理由。

OE數列解法:

多項式除法中求商式

已知 x^1951 -1 被 (x^2+1)(x^2+x+1)除之商式為 Q(x)，求 Q(x)中 x^14 項的係數?
解法:

遞迴關係式

一個1*n的棋盤上,有紅色的,白色的,藍色的小方塊想要填滿整個棋盤
其中,紅色的小方塊數目是偶數,且至少要一個藍色的小方塊,請問其遞
迴關係式為何?
例如 : (r=紅色,b=藍色,w=白色)
n=1時,只有一種,就是 b
n=2時有三種,就是bw,wb或bb
n=3時有10種 (bbb,bbw,bwb,bww,wwb,wbw,wbb,rrb,rbr,brr)
n=4時有33種

[解]
設一個1*(n+1)的棋盤上填滿整個棋盤有 f(n+1) 個方法
(1) 若第1格塗白色，則接下去的1*n的棋盤上填滿整個棋盤有 f(n) 個方法
(2) 若第1格塗藍色，則接下去的1*n的棋盤上填滿整個棋盤有
C(n,0)×2^n +C(n,2)×2^(n-2) +C(n,4)×2^(n-4) +……個方法
(3) 若第1格塗紅色，則接下去的1*n的棋盤上填滿整個棋盤有
C(n,1)×(2^(n-1)-1)+C(n,3)×(2^(n-3)-1)+C(n,5)×(2^(n-5)-1)+……個方法
因此 f(n+1) = f(n) + C(n,0)×2^n +C(n,2)×2^(n-2) +C(n,4)×2^(n-4) +……
+ C(n,1)×(2^(n-1)-1)+C(n,3)×(2^(n-3)-1)+C(n,5)×(2^(n-5)-1)+……
= f(n) + C(n,0)×2^n +C(n,1)×2^(n-1) +C(n,2)×2^(n-2) + C(n,3)×2^(n-3)+….
- [C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)+…….]
= f(n) + 3^n- (2^(n-1))
但 f(1) = 1，n為自然數，f(n+1) = f(n) + 3^n- (2^(n-1))