期望值

若照近年大學指考計分方式，多重選擇題每題8分共有5個選項，其中至少有1選項是正確。每個選項獨立計分，答對得1.6分，答錯倒扣1.6分，整題未作答者不給分也不倒扣，求每題若亂猜之得分期望值為?

解答:期望值為

Picasa 網路相簿 - jflai - 義大利

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柯西不等式

柯西不等式
證明

期望值

(91學年度南一中學測911226 RA413)
學測數學考試，多重選擇題每題5分，共有5個選項，每題至少有一個選項是正確的，答對給5分，只錯一個給2.5分，錯2個或2個以上不給分，答錯不倒扣，若任意猜答，則該題得分的期望值為幾分?
[解]
(1)恰有一個選項是正確的機率為5/31，則得5分的機率為 1/31，得2.5分的機率為 4/31
(2)有兩個以上選項是正確的機率為26/31，則得5分的機率為 1/31，得2.5分的機率為 5/31
所以該題得分的期望值為 (5/31)*[5*(1/31)+2.5*(4/31)]+(26/31)*[5*(1/31)+2.5*(5/31)]=530/961

撞球

(95學年度南區第1次學測RA238)
撞球桌為長方形ABCD，其中A、B、C、D皆有洞，今母球從A點出發，路線和AB邊夾45度，撞到邊界即反彈，當AB=4，BC=3，母球最後落入B洞，當AB=96，BC=94時母球依此規則撞擊，則母球在入洞前共撞擊BC邊幾次?

撞擊有幾種

塗色問題

問題：用k色來塗環狀n區域，每一區域一色，相鄰區域不許同色，顏色可以重複使用，顏色不一定全用，塗法有幾種?

塗法有幾種

算幾不等式

算幾不等式的証明

証明:

OE數列

一個m項的正整數數列＜x(1)，x(2)，x(3)，...，x(m) ＞，如果滿足以下兩個條件：
(1)對於任意的正整數 i，1 <= i <= m-1 ；x(i) < x(i+1)
(2)數列中所有的奇數項 x(1)，x(3)，...全是奇數，並且數列中所有的偶數項 x(2)，x(4)，...全是偶數
則稱此數列為一個OE數列。
例如最大的項不大於4的OE數列只有＜１＞，＜3＞，＜1,2＞，＜1,4＞，＜3,4＞，＜1,2,3＞，＜1,2,3,4＞等七個。請問最大的項不大於20的OE數列共有多少個?請說明理由。

OE數列解法:

多項式除法中求商式

已知 x^1951 -1 被 (x^2+1)(x^2+x+1)除之商式為 Q(x)，求 Q(x)中 x^14 項的係數?
解法:

遞迴關係式

一個1*n的棋盤上,有紅色的,白色的,藍色的小方塊想要填滿整個棋盤
其中,紅色的小方塊數目是偶數,且至少要一個藍色的小方塊,請問其遞
迴關係式為何?
例如 : (r=紅色,b=藍色,w=白色)
n=1時,只有一種,就是 b
n=2時有三種,就是bw,wb或bb
n=3時有10種 (bbb,bbw,bwb,bww,wwb,wbw,wbb,rrb,rbr,brr)
n=4時有33種

[解]
設一個1*(n+1)的棋盤上填滿整個棋盤有 f(n+1) 個方法
(1) 若第1格塗白色，則接下去的1*n的棋盤上填滿整個棋盤有 f(n) 個方法
(2) 若第1格塗藍色，則接下去的1*n的棋盤上填滿整個棋盤有
C(n,0)×2^n +C(n,2)×2^(n-2) +C(n,4)×2^(n-4) +……個方法
(3) 若第1格塗紅色，則接下去的1*n的棋盤上填滿整個棋盤有
C(n,1)×(2^(n-1)-1)+C(n,3)×(2^(n-3)-1)+C(n,5)×(2^(n-5)-1)+……個方法
因此 f(n+1) = f(n) + C(n,0)×2^n +C(n,2)×2^(n-2) +C(n,4)×2^(n-4) +……
+ C(n,1)×(2^(n-1)-1)+C(n,3)×(2^(n-3)-1)+C(n,5)×(2^(n-5)-1)+……
= f(n) + C(n,0)×2^n +C(n,1)×2^(n-1) +C(n,2)×2^(n-2) + C(n,3)×2^(n-3)+….
- [C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)+…….]
= f(n) + 3^n- (2^(n-1))
但 f(1) = 1，n為自然數，f(n+1) = f(n) + 3^n- (2^(n-1))

試證對於任意正整數a而言，皆存在無限多個正整數b，滿足3|a+b，5|a+2b，7|a-b，11|a-2b

3|a+b，可令 a+b=3c ，a=3c-b，令 b=(2+3m)a

5|a+2b，可令a+2b=3d ，a=3d-2b，令b=(2+5m)a

7|a-b，可令a-b=7e ，a=b+7e，令b=(1+7m)a

11|a-2b，可令a-2b=11f ，a=2b+11f，令b=(6+11m)a

所以b被3除餘2a，b被5除餘2a，b被7除餘a，b被11除餘6a，

再利用韓信點兵可得 b=(1155k+512) a，k為意整數

若a、b為複數且滿足|a|=3，|b|=5，|a+b|=7，則(b/a)^3=?

令a=3(cosα+isinα)，b=5(cosβ+isinβ)

根據隸美佛定理

則(b/a)^3 =[5(cosβ+isinβ) /3(cosα+isinα)]^3

= (125/27)[cos3(β-α)+isin3(β-α)]

在複數平面上作A(a)，B(b)，

則OA=3，OB=5，∠AOB=β-α

以OA，OB為邊作平行四邊形OACB

則C表複數(a+b)，OC=7

利用餘弦定理，cos∠OAC=(9+25-49)/2*3*5 = -1/2

所以∠OAC=120度，所以β-α= 60度

所以 3(β-α)=180度

(b/a)^3 = (125/27)[cos3(β-α)+isin3(β-α)]

= -125/27(b/a)

(2x-3y)^100展開式中係數的絕對值最大之項？

設 (x^n)(y^100-n) 的係數的絕對值為a(n)=C(100,n)*2^n*3^(100-n) 最大

則 a(n)>=a(n-1) 也就是 C(100,n)*2^n*3^(100-n)>= C(100,n-1)*2^(n-1)*3^(101-n)

∴ 2(101-n)>=3n ==> 202 >= 5n

同時a(n)>=a(n+1) 也就是 C(100,n)*2^n*3^(100-n)>= C(100,n+1)*2^(n+1)*3^(99-n)

∴ 3(n+1)>=2(100-n) ==> 5n >= 197

∴ 39.4 <= n <= 40.5 ∴ n = 40

因此最大項為 C(100,40)*(2x)^(40)*(3y)^(60)，其係數為 C(100,40)*2^(40)*3^(60)

用正弦定理證明「大角對大邊，小角對小邊」

已知∠A＜∠B，
(1)若∠A＜∠B＜= 90度
根據正弦定理 a*sinB = b*sinA
==> (sinA/sinB) = (a/b) ＜ 1
==> a＜b (在0~90度 sin是遞增函數)

(2)若 90度＜∠B
可在AC邊上取一點D 使得∠ABD = 90度
則根據(1)可得 BD＜AD
==> BD+DC ＜AD+DC
==>BC＜BD+DC＜AC
==> a＜b

設A、B、C表三個集合，A∪B∪C = {1,2,3,4}，請問這樣的集合組(A,B,C) 共有多少個?

先畫三個兩兩相交的圓代表A、B、C三個集合，

這三個相交的圓內部有7個部份，

將1，2，3，4放入這7個部份，

1 放進去有7個方法，

2 放進去有7個方法，

3 放進去有7個方法，

4 放進去有7個方法，

因此共有7*7*7*7 = 2401個方法，

所以共有2401個集合組(A,B,C)

方程式3x^4-4mx^3+1=0沒有實根

兩個解法:

aaabbbcccde同字不相鄰的排法有幾種?

aaabbbcccde同字不相鄰的排法有幾種?

先排 aaaed 有三種情況

(A) 三個a相鄰==> aaaed 有3! = 6個方法

(B) 恰兩個a相鄰==> aaead 有2!×3×2 = 12個方法

(C) 三個a均不相鄰==> aeada 有2個方法

再插入bbb

就(A)的情況再分別討論 (紅色表示插入c的方法數)

(1) aabbbaed ==> acabcbcbaed ==>有2×1 = 2個方法

(2) abbabaed ==> abcbabaed ==>有2×C(8,2) = 56個方法

(3) aabbabed ==> acabcbabed ==>有4×4×7 = 112個方法

(4) aaaebdbb ==> acacaebdbcb ==>有4×3×1 =12個方法

(5) aaabdbeb ==> acacabdbeb ==>有C(4,3)×C(7,1) = 28個方法

(6) baababde ==> bacababde ==>有2×C(4,2)×C(8,2) = 336個方法

(7) ababadeb ==> ababadeb ==>有4×C(9,3) = 336個方法

合計有6×882 = 5292個方法

就(B)的情況再分別討論 (紅色表示插入c的方法數)

(1) aaeadbbb ==> acaeadbcbcb ==>有5×1 = 5個方法

(2) abbbaead ==> abcbcbaead ==>有1×1×7 = 7個方法

(3) ababbead ==> ababcbead ==>有2×5×C(8,2) = 280個方法

(4) aaeabbdb ==> acaeabcbdb ==>有5×4×7 = 140個方法

(5) aaebabdb ==> acaebabdb ==>有C(5,3)×C(8,2) = 280個方法

(6) abaebabd ==> abaebabd ==>有C(5,2)×C(9,3) = 840個方法

合計有12×1552 = 18624個方法

就(C)的情況再分別討論 (紅色表示插入c的方法數)

(1) aeadabbb ==> aeadabcbcb ==>有6×7 = 42個方法

(2) abeadabb ==> abeadabcb ==>有6×5×C(8,2) = 840個方法

(3) aeabdbab ==> aeabdbab ==>有C(6,3)×C(9,3) = 1680個方法

合計有2×2562 = 5124個方法

所以總共有5292 + 18624 + 5124 = 29040個方法